즐거운 수학이 가능하려면...'수학의 본질은 자유로움에 있다'

즐거운 수학이 가능하려면...'수학의 본질은 자유로움에 있다'

필즈상을 수상한 허준이 교수의 사례를 계기로 수학에 대해 다른 생각, 다른 접근법이 회자되고 있습니다. 고무적인 일입니다. 관련해서 수학 공부에 대한 생각과 경험을 공유합니다.

anotherthinking

우리나라 아이들은 기본적으로 선행 학습을 많이 합니다. 특히 수학만큼은 선행 학습이 필수가 된 것처럼 보입니다. 적어도 한 학기 혹은 1년 정도는 앞서 공부하는 것 같고, 심한 경우 초등학생 때 이미 고등학교 과정을 시작하는 아이도 있습니다.

한국 아이들에 비하면 독일에서의 수학 진도는 '복장 터지는' 수준입니다. 우리집 아이의 경우, 1학년 때 내내 수만 세더니 2학년이 되어도 수를 세고 있었습니다. 우리나라 아이들은 7살 때 이미 구구단을 외우는데 독일에서는 '구구단이 뭐예요?' 수준입니다. 대신 개념과 원리를 깨우치는 데만 주력합니다. 그런데 너무 신기한 게 그렇게 굼뜬 달팽이처럼 하는데도 어느 날 보면 실력이 향상돼 있는 겁니다.

독일에서 수학을 배우는 방식은 철저히 '생각'과 '원리'에 기반합니다. 독일에서 수학 잘하기로 인정받던 아이가 한국에 돌아오면 '생각해서 풀 줄 아는데 한국식 수학에 약하다'라는 말을 많이 듣는다고 합니다. 저는 그 말을 들을 때마다 물음표가 가득했습니다. '한국식 수학'이 대체 뭐지?

우리 가족보다 몇 달 먼저 귀국해 한국 생활을 시작한 지인이 있었습니다. 중학교 3학년 2학기로 편입한 그 집 아이는 독일에서도 수학 성적이 뛰어났고 한국에 돌아올 것을 대비한 선행 학습도 어느 정도 한 상태였습니다. 그런데 막상 돌아와 한국 수학 학원에 테스트를 받으러 갔더니 강사가 똑같은 말을 했다고 합니다. 생각하는 훈련은 돼 있는데 한국 방식이 아니라고, 10문제를 7분 안에 풀어야 하는데 그 속도가 안 나온다고 말입니다.

수학을 배워야 하는 근본적인 이유가 바로 '생각하는 힘'을 기르는 데 있다는 사실에는 누구나 공감할 텐데 당장 성적이 나오지 않아 입시에 영향을 끼치니 속도전이 중요한 '한국식'이라는 정체불명의 명칭마저 생겨난 것이겠지요. 대부분의 수학 사교육이 지속적으로 많은 문제를 풀게 하면서 온갖 유형의 문제들에 익숙해지게 만드는 방식이 된 것은 성적 향상을 위해 어쩔 수 없는 부분도 있을 겁니다. 그럼에도 불구하고 아쉬움은 남습니다. 빠르면 초등학교 고학년부터 수학을 포기하는 '수포자'가 생겨난다는 이야기를 듣고 있으면 더욱 그렇습니다.

3년 과정을 선행 중인 조카에게 '수학이 재밌느냐'고 물으니 무슨 그런 이상한 질문을 하냐는 듯이 눈을 동그랗게 뜨고 저를 쳐다보던 모습이 생생합니다. 그때 저는 조카에게 생각하며 해결해가는 수학의 방식이 얼마나 재미있을 수 있는지 알려주고 싶었습니다. 그리고는 사고력 수학 문제 하나를 보여줬습니다. 2021년 '매쓰 캥거루(math kanggaroo) 대회(이하 매쓰 캥거루)' 기출 문제 중 7~8학년 과정(우리나라의 중1/중2)에 해당하는 문제였는데, 축구공의 단면만 보여주고 몇 개의 육각형이 있는지를 유추해서 푸는 문제였습니다.

조카는 문제를 보자마자 자신 있게 외쳤습니다. "나 이거 알아요! 사고력 수학에서 배웠어요. 이거 몇 개인지 외웠는데..."라면서 외운 숫자를 떠올리려 '생각'하는 모습을 보였지요. 아마도 학원에서 이미 경험한 문제 유형인 모양이었습니다. 보이는 면을 통해 보이지 않는 면을 유추하고 생각하면서 해결하려면 시간이 걸리는 게 당연한데 그 생각의 시간을 건너 뛰어 보자마자 빨리 외운 답을 써야 하는데 '한국식'인가 싶어 씁쓸한 마음마저 들었습니다. 우리나라 아이들의 수학 성적은 전 영역에 걸쳐 글로벌 탑 수준이지만, 유난히 수학 자신감이나 흥미도에 있어서는 OECD 평균보다 낮은 수치라는 사실을 다시 상기하게 되는 순간이기도 했습니다.

독일의 많은 학교에서 수학 실력을 평가하는 잣대로 삼는 '매쓰 캥거루'는 국제 수학 경시 대회입니다. 1980년 호주에서 시작해 현재 전 세계 80여 개국의 수많은 학생들이 참가하고 있는데, 우리나라에도 지난 2018년 이 대회가 도입돼 많은 아이들이 참가하고 있는 것으로 압니다. (다만 한국 대회는 한 날 한 시에 치러지는 글로벌 대회와 달리 일정도 다르고 1차 예선과 2차 본선으로 나뉘어 있는 등 조금 다른 양상입니다.)

우리집 아이는 2021년 3월, 학교에서 전 학년 전 학생이 공식적으로 참여한 매쓰 캥거루 대회를 통해 처음 입문했습니다. 이전 학교는 매쓰 캥거루에 참여하지 않던 학교라서 4학년이 되어서야 경험하게 된 것입니다. 처음 참여한 대회에서 아이는 교내 학년 1등을 차지했습니다. 학원 한번 다녀보지 않았지만 수학적 사고 하기를 좋아하고 관련 책들을 많이 읽고 또 혼자 개념 문제집을 풀며 '스스로 학습' 중인 터라 아이의 결과는 딱 그 정도 의미에서 감사한 일이었습니다. 그러나 애초 큰 기대를 하지도, 결과에 부담도 갖지는 않았습니다. 다만 대회를 치르고 돌아온 아이가 막상 두 문제를 빈 칸으로 두었다고 말할 때는 그래도 하는 데까지 해보지 그랬느냐는 아쉬운 반응이 먼저 나왔습니다. 제가 배운 방식대로라면 정답란을 비워두는 건 아예 가능성을 0으로 만드는 것이었으니까요. 그 말 끝에 아이가 이런 말을 했습니다.

"엄마, 그거 빈칸으로 두면 0점이지만 틀리면 감점이 있어."

아이 얘기를 듣고 궁금해진 저는 매쓰 캥거루 채점 방식에 대해 알아보았습니다. 학년(초등과 중등 과정)에 따라 기본 점수 30점 또는 50점을 포함해 120점 만점 또는 150점 만점을 받게 되는데, 정답을 쓰지 않으면 해당 문제의 배점 만큼만 빼고, 정답이 틀리면 배점에 추가로 1/4 만큼을 감점하는 방식이었어요. 가령 5점짜리 문제를 아예 풀지 않으면 5점만 잃게 되지만, 답이 틀릴 경우 6.25점(5점+1.25점)을 감점합니다.

그 '이유'에 대해 생각해 보았습니다. 매쓰 캥거루는 철저히 사고력을 동반한 문제들로 구성돼 있습니다. 그 옛날 제가 경험했던 방식의 문제가 아닙니다. 해당 학년에서 배우는 수학적 개념만 정확히 알고 있다면 그 어떤 공식도 전혀 필요하지 않습니다. 문제 자체도 수학 하나에만 국한된 것이 아니라 융합적인 사고력을 필요로 합니다. 문제마다 난이도가 다르지만 그 난이도 역시 고학년 수학을 선행했느냐의 문제가 아니라 '생각의 난이도'에 비례할 뿐입니다.

매쓰 캥거루 2022의 독일 버전 포스터. 

가만히 생각하니 창의적 사고에서 그 어떤 요행을 바라면 안 될 것 같다 싶었습니다. 생각하는 과정 없이 '찍어서' 정답을 맞힌다면 그건 본인의 실력이 아닐 테니까요. 그렇게 얻는 점수는 진짜가 아니라는 것, 그래서 틀리는 것보다 빈칸으로 두는 게 더 유리하도록 점수 설계가 돼 있는 건 아닐까 하는 생각이 들었습니다.

독일식 수학은 한국인 엄마의 입장에서 보면 정말 지루하기만 합니다. 저학년 때 아이는 수학 시간을 늘 체험 놀이 시간으로 인지했을 정도입니다.  학년이 올라가면서 배우는 수학은 우리나라 사고력 문제집에서 나오는 방식이거나 간단한 연산 문제조차도 맥락과 관계성, 규칙성을 가지고 이어지는 방식이었습니다. 더하기 빼기를 할 때조차 비슷한 유형을 가지고 규칙이나 패턴에 따라 응용해야 하니 쉬운 문제라도 '생각'을 해야만 했습니다.

아이들이 직접 서술형 문제를 만들어서 짝이랑 바꿔 풀어보게 하는 것도 늘 하는 방식이었습니다. 이 방식은 얼마 전 필즈상을 수상한 허준이 교수님이 아이 수학을 가르칠 때 쓰는 방식이라고도 들었는데 이 방식은 수학에 대한 개념 공부는 물론이고 공부에 대한 즐거운 접근법이 되어주었습니다. 아이는 자신이 만든 문제를 제게 보여주기도 했는데 그 문제의 스토리 자체가 늘 참신하고 유머러스해서 '작문 수업'인가 생각했을 정도입니다. 수학만 배우는 시간이 아닌 것이지요. 개념과 원리를 천천히 경험하고 체험하며 깨우치는 방식이다 보니 느리고 더디지만 기계적이지 않고 수학의 즐거움을 깨닫게 해주는 그 방식이 저는 참 마음에 들었습니다.

수학은 모든 과목의 기초가 되는 중요한 학문입니다. 논리력, 사고력을 기르는 것은 물론이고 문제를 해결하는 능력 또한 기를 수 있게 됩니다. 그리스의 많은 철학자들이 곧 수학자이기도 했다는 점을 상기해 보면 수학과 생각하는 힘 사이의 상관관계를 명확히 이해하게 됩니다.

독일의 수학자 칸토어는 '수학의 본질은 자유로움에 있다'고 했습니다. 그 자유로움 속에서 생각 근육을 키우고 스스로 깨달으며 성취하는 즐거움을 주는 수학이야말로 우리가 추구하는 진짜 공부겠지요. '생각하는 법'마저 가르치는 사고력 수학 말고 '자유로운 생각을 충분히 보장하는' 수학 공부 말입니다.  

*** 이 글은 저자의 책 <생각이 자라는 아이>의 내용을 기반으로 하고 있습니다.
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